誰是那個倒霉蛋兒:北京上牌平均需要無窮年
北京的治堵方案終於出臺——購買機動車必須先搖號,每月只「放號」2萬個。想買車的朋友們可就慌了:如果一輩子都搖不中該咋辦?市交通委副主任新聞發言人李曉松解釋說,「每月一次搖號機會,沒中的人可以一直在搖號池裡搖號,我相信肯定會搖中。」
細想一下就會發現,這並不能解決問題:如果所有沒中的人都會一直留在搖號池,搖號池中的號碼就會越積越多,中獎概率也越來越低。按照每月新增5萬人申請搖號來算[1],首月中獎概率高達2/5=40%,剩下的3萬人繼續留在搖號池中;到了第二個月,又會新增5萬人,因此搖號池中的號碼會增加到8萬,中獎率降低到了25%。照這樣推下去,到了第6個月,中獎率會降到10%,一年之後中獎率會降到5%以下。
搖號上牌可謂是真正的人品大比拚,如果第一個月就申請了搖號,一年內搖中的概率有八成,剩下兩成的倒霉蛋只能面對越來越渺茫的希望仰天長嘆。自然,我們想到了一個有趣的問題:如果第一個月就申請了搖號,那麼平均需要多少年才能中獎呢?果殼網死理性派告訴你,答案是——永遠。下面我們就來證明,只要每月新申請搖號的人數達到4萬人,中獎需要的平均時間就已經是無窮了。
稍作計算便可得知,如果第一個月便申請搖號,並且假設每月新增搖號人數4萬人,則第一個月中獎的概率是1/2,前兩個月內中獎的概率就是2/3,容易看出,在前n個月內中獎的概率就是n/(n+1)。我們可以用數學歸納法來證明這一點。假設n=k-1時命題成立,也就是說在前k-1個月內中獎的概率的確是(k-1)/k。由於第k個月的中獎概率是
因此在前k-1個月都沒中獎,正好在第k個月中獎了的概率就是
因此,前k個月的中獎概率就是
正好符合我們之前給出的公式。
在前面的推導過程中,我們知道了,在前k-1個月都沒中獎,正好在第k個月中獎的概率是
也就是說,有1/(1×2)的概率在第一個月中獎,有1/(2×3)的概率到了第二個月才中獎,有1/(3×4)的概率要到第三個月才中獎,等等。因此,中獎平均需要的時間也就是
而無窮個1/2的和顯然是無窮大,因此要想中獎,平均需要無窮多個月!
當然,在這個問題中,絕大多數人都會在一兩年內搖中,只是極個別永遠搖不上的倒霉蛋把平均時間拖到了無窮遠。因此,大家也不必太緊張,幾乎所有人中獎所需時間都會早於這個平均值的。
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